Numerische Simulationen finiter mikromorpher Elastizität unter der Verwendung von FETI-DP-Gebietszerlegungsverfahren

A minimization problem which models geometrically exact generalized continua of micromorphic type is considered. The arising problem is a two field problem in the elastic deformation of a given body and an additional tensorial field. Here, the tensorial field can be used to model further features needed for a more reliable descriptions of solids. To solve this problem a staggered algorithm is introduced. This algorithm decouples the original problem into two separate problems. In each of the subproblems one variable is kept fixed while the problem is solved for the remaining variable; the problem when the tensorial field is kept fixed, is denoted as P-elasticity. Both problems are discretized with finite elements. Numerical results for the staggered approach are presented for a cubic and a cylindrical geometry. Furthermore the subproblem of P-elasticity is considered in more detail. Here, we obtain a model which reminds of linear elasticity and in fact reduces to standard linear elasticity if the tensorial field is chosen to be the identity. For this problem the FETI-DP method is formulated and a convergence estimate is provided. Also a quadratic-logarithmical dependence of the condition number on the number of unknowns of each subdomain is shown. Numerical experiments confirming the theoretical findings are presented. Further results for examples which are not covered by the theoretical estimates and which are also promising are presented as well.Ein Minimierungsproblem, welches geometrisch exakte generalisierte Kontinua mikromorpher Art modelliert, wird betrachtet. Bei dem entstehenden Problem handelt es sich um ein Zweifeldproblem, dessen Unbekannte die elastische Deformation und ein zusätzliches Tensorfeld sind. Das Tensorfeld kann verwendet werden, um weitere Aspekte zu modellieren, die eine zuverlässigere Beschreibung von Festkörpern erlauben. Um das Minimierungsproblem zu lösen, wird ein gestaffelter Ansatz verwendet. Dieser Algorithmus entkoppelt das ursprüngliche Problem in zwei separate Probleme. Bei jedem der separaten Probleme wird eine Variable festgehalten, während das Problem bezüglich der anderen Variablen gelöst wird. Beide Probleme werden mit finiten Elementen diskretisiert. Numerische Ergebnisse des gestaffelten Ansatzes für einen Würfel und einen Zylinder werden präsentiert. Des Weiteren wird das Unterproblem detaillierter betrachtet, in welchem das Tensorfeld fixiert wird und eine Lösung bezüglich der elastischen Deformation erfolgt. Das Modell, welches hierbei betrachtet wird, ähnelt der Standard-Formulierung der linearen Elastizität und führt auch wieder auf diese, wenn das Tensorfeld als Identität angenommen wird. Für dieses Unterproblem wird eine FETI-DP-Gebietszerlegungsmethode eingeführt und eine Konvergenzabschätzung bewiesen. Zudem wird gezeigt, dass die Konditionszahl quadratisch logarithmisch von der Anzahl der Unbekannten je Teilgebiet abhängt. Numerische Experimente, welche die theoretischen Ergebnisse belegen, werden ebenfalls präsentiert. Weitere numerische Resultate werden präsentiert für Beispiele, welche nicht vollständig von der Theorie erfasst werden; diese Ergebnisse sind vielversprechend

FETI-DP domain decomposition methods for elasticity with structural changes:

We consider linear elliptic systems which arise in coupled elastic continuum mechanical models. In these systems, the strain tensor εP := sym (P-1∇u) is redefined to include a matrix valued inhomogeneity P(x) which cannot be described by a space dependent fourth order elasticity tensor. Such systems arise naturally in geometrically exact plasticity or in problems with eigenstresses. The tensor field P induces a structural change of the elasticity equations. For such a model the FETI-DP method is formulated and a convergence estimate is provided for the special case that P-T = ∇ψ is a gradient. It is shown that the condition number depends only quadratic-logarithmically on the number of unknowns of each subdomain. The dependence of the constants of the bound on P is highlighted. Numerical examples confirm our theoretical findings. Promising results are also obtained for settings which are not covered by our theoretical estimates